Будущий чемпион родился 11 февраля 1929 года в Гандзаке (Кировабад, Гянджа АР) в семье рабочего, вскоре Азаряны переехали в Кировакан (Ванадзор). В спорт Азарян попал фактически случайно и довольно поздно. Когда мальчику было 14, скончался отец, и Альберту пришлось пойти работать, чтобы помогать семье.
Он устроился в кузницу — силы для этой работы хватало. А в спорт он попал случайно. Как-то на одной из площадей устраивали показательное выступление лучших гимнастов Армении, в числе которых был и олимпийский чемпион Грант Шагинян.
В перерыве он решил и сам попробовать свои силы на снарядах, его заметил Шагинян и позвал тренироваться в Ереван. Юный кузнец сразу же согласился.
В 1947 году семья перебирается в Ереван, и Альберт поступает в техникум физической культуры, где начинает заниматься спортивной гимнастикой, и впоследствии, уже став чемпионом, оканчивает Армянский государственный институт физической культуры.
В Ереване Азарян окончил физкультурный техникум и стал тренироваться у Симона Карагезяна. Уже в 1950-х пришли первые победы: он 11 раз кряду становился чемпионом СССР. А в 1953-м впервые исполнил свой знаменитый «крест», причем фигура получилась случайно: на соревнованиях были слишком строгие судьи, и Азарян поворачивался к каждому из них, чтобы понять, довольны ли они выступлением. Скоро крест Азаряна станет визитной карточкой спортсмена и залогом его побед.
Первый мировой чемпионский титул спортсмен получает в Риме в 1954 году, исполнив «косой крест» на кольцах с отведенными руками и поворотом на 90 градусов, который произвел фурор на мировой арене, — знаменитый «крест Азаряна», ставший одним из шести армянских элементов мировой гимнастики.
После соревнований к Азаряну подошел восхищенный итальянский болельщик и сказал: «В 66 году здесь, в Риме император Нерон объявил Трдата I королем Армении. Всем известно, что Трдат получил корону не благодаря молитвам, а благодаря своим рукам. Сегодня я искренне рад, что в том же Риме вас провозгласили чемпионом мира. Времена королей прошли. Теперь вы их потомок».
В 1956 и 1960 — на Олимпиадах в упражнениях на кольцах (в 1956 Азарян получил золото еще и в командном первенстве). Слава спортсмена была такой большой, что в 1962 году режиссер Юрий Ерзнкян снял на киностудии «Арменфильм» художественный фильм «Кольца славы» о судьбе молодого деревенского кузнеца, ставшего чемпионом мира по кольцам. Звали героя Армен Назарян. Фактически самого себя на экране исполнил сам Азарян, а его тренера сыграл Хорен Абрамян.
О том, как родился знаменитый элемент, Альберт Азарян рассказывал в одном из интервью: «Сборная Армении в 1953 году участвовала на соревнованиях в Ленинграде. Наша команда была на втором месте, мы были в шаге от победы, но у нас были низкие баллы за упражнения на кольцах — спортсменам не удавалось продержаться три секунды при выполнении креста. Я должен был выступать в конце.
Возмущенный такой ситуацией, я повис на кольцах и, прежде чем завершить упражнение, решил по очереди спросить всех членов жюри, хватит ли держать. Сначала я спросил двух сидящих напротив, затем повернулся к еще двум членам жюри, сидящим сзади. В результате получился азаряновский крест.
Меня потом хотели дисквалифицировать, поскольку разговор во время выполнения упражнения — жесткое нарушение правил. Однако один из членов судейской коллегии заявил, что я впервые сделал крест по-новому, так, как до меня никто не выполнял, и меня простили».
До сих пор никому из гимнастов в мире не удалось так же чисто выполнить этот элемент — не хватает сил удержать стойку. Там же, в итальянской столице, советского армянского чемпиона прозвали «королем колец», и это звание закрепилось за ним на годы блестящих побед вперед. Он не был побежден ни в одних международных соревнованиях.
Примечательно, что во время своих выступлений, выполняя элементы, Азарян улыбался, даже когда замирал в сложнейшем «кресте».
Завершив спортивную карьеру, Альберт Азарян стал заниматься судейством международных соревнований и руководить ереванской детско-юношеской спортивной школой олимпийского резерва по гимнастике.
На сегодняшний день школа, уже 15 лет носящая его имя, подготовила свыше 8 тысяч юных спортсменов, среди них и сын Азаряна Эдуард — олимпийский чемпион 1980 года, четырехкратный чемпион СССР (ныне живет в США и занимается тренерской деятельностью в созданном им калифорнийском центре гимнастики). К слову, Азаряны в гимнастике единственная семья, в которой отец и сын — олимпийские чемпионы.
Сам «король колец», побывав в полсотне стран, несколько лет проработав в Голландии и не раз получая выгодные предложения тренерской деятельности за границей, никогда не помышлял расстаться с Арменией. По его словам, даже навещая сына, он не может больше недели находиться вне родины.
Помимо руководства школой, Азарян возглавляет Федерацию гимнастики Армении. Статный, подтянутый, в прекрасной форме, Альберт Вагаршакович остается очень активным и деятельным.
Супруга, Лиза Грайровна, — в прошлом тоже гимнастка, чемпионка республики в вольных упражнениях, заслуженный мастер спорта. В семье Азарянов четверо детей, семь внуков и четыре правнука.
В 2000 году спортивные журналисты Армении признали Альберта Азаряна — обладателя 100 золотых медалей — лучшим армянским спортсменом XX века. Нa Олимпийских играх 2004 и 2008 годов в Афинах и Пекине он нес флаг Армении на церемониях открытия.
