Князь Акоп Багратуни родился в Ахалцихе в 1879 году, в армянской дворянской семье, которая происходила из княжеского рода Багратуни. Багратуни из Гюмри- Александропя также являлись представителями того же древнейшего княжеского рода, мигрировавшего в начале XIX века из Карина (Эрзрум).
Окончив мужскую тифлисскую гимназию с золотой медалью, Акоп Багратуни продолжил свое обучение в киевском военном училище, далее в Николаевской академии Петербурга. Он участвовал в русско-японской войне, занимал разные высокие должности в Средней Азии, был удостоен наград.
После Февральского восстания 1917 года Багратуни прибыл в Петербург, где правительством Керенского был назначен на должность начальника штаба Петроградского военного округа. В августе 1917 года ему было присвоено звание генерал-майора.
Багратуни являлся одним из первых организаторов создания армянских вооруженных сил в русской армии, став Армянским военным комиссаром и главой Армянского военного совета.
После большевистского переворота он был арестован, однако вскоре был освобожден и вновь получил должность Армянского военного комиссара, и до начала 1918 года вел активную деятельность по отправке записавшихся в Армянский корпус в Армению.
В марте 1918 года Багратуни прибыл в Баку с целью дальнейшей переправки в Армению. Однако турецкие шпионы выследили и организовали на него покушение. В результате покушения Багратуни был тяжело ранен и потерял часть левой ноги.
Не обращая внимание на тяжелые ранения и став членом Армянского национального совета, Багратуни сделал большой вклад в обороне Баку от совместной турецко-татарской армии. Вскоре он стал военным министром Центрального Каспийского правительства. Необходимо отметить, что подавляющее большинство защитников Баку являлись армянами.
В сентябре после оккупации Баку Кавказской исламской армией он мигрировал в Персию. В ноябре 1918 года после поражения турок в I мировой войне Багратуни вернулся в Баку и вновь стал членом Армянского национального совета.
В начале 1919 года Багратуни пригласили в Ереван, где, благодаря его знанию иностранных языков, включили в состав делегации, принимавшей участие во Парижской мирной конференции.
Вскоре Багратуни было присвоено высочайшее военное звание генерала Армянской армии. В августе 1919 года он принял должность председателя официальной военной делегации, отправлявшейся в США для переговоров с американским правительством с целью взаимодействия в сфере обороны.
В ноябре 1919 года армянская делегация прибыла в Нью-Йорк, встретилась с многочисленными государственными и общественными деятелями, приняла участие в комиссиях, настаивая на необходимости оказания поддержки Армении и признания ее независимости. В Вашингтоне Багратуни удостоился официального приема военного министра США и Госсекретаря.
После окончания миссии делегации генерал Багратуни вернулся во Францию, где был назначен на должность посла Армении в Великобритании. Затем как член армянской делегации принял участие в Лондонской конференции 1921 года и Лозанской в 1923 году.
Он окончил свои дни в Лондоне в 1943 году, похоронен на Бромптонском мемориальном кладбище.
Его сын Левон Багратуни, доктор медицины и философии Оксфордского университета, скончался в Лондоне в 1964 году.
